Nümerik Yöntemlerde Hata Analizi ve Çözüm

Nümerik Yöntemlerde Hata Analizi ve Bir Nümerik Çözüm...
S. Yüncü ve C. Aslan
Taylor açılımına göre bir f fonksiyonu ve onun ilk n+1 aralığındaki türevleri xi+1 ve
xi aralığında sürekli ise, xi+1 deki fonksiyonun değeri, h = x − x olarak
i +1
i
alındığında, formül (2.1) göre bulunur.

n
f ′(x ) 2
f ( x )
i
i
n
f (x ) = f (x ) + f ′(x )h +
h + ⋅.......... +
h + R (2.1)
i +1
i
i
n
!
2
n!
Taylor serisinde n inci terime kadar alınan toplamda R kesme hatasını verir. Eşitlik
n
2.2 yapılan hatayı gösterir.
n +1
f
(ξ )



R =
n +1
h

(2.2)
n
(n + )!
1
Formül 2.2’de ξ x
n +
i+1 ila xi arasında yeri belirlenmeyen bir yerde bulunmakta,
1
f

ise f fonksiyonunun n+1’inci derecedeki türevi olmakta ve bilinmemektedir. Bu
durumda eşitlik 2.2 nin değeri tam olarak bulunamasa da R ’in, adım uzunluğu
n
n +1
h
ile doğru orantılı olduğu görülmektedir. Bu ise kesme hatasını azaltmanın adım
uzunluğunu küçültmekle mümkün olacağını gösterir.

2.2. Yuvarlatma Hataları

Bilgisayarlar fiziksel yapılarından dolayı sayıların sadece bir kısmını belleklerinde
saklayabilirler. Tam ve kesirli sayılar belleklerde kelime (word) yapısında tutulurlar.
Tam sayılar 1 kelimede yerleşirken kesirli sayılar en az iki kelimeye yerleşirler.
Kelime yapısı 1 byte (16 bit) olan bilgisayarlarda en küçük sayı -32767, en büyük
sayı ise +32768 dir. Bu sayılardan daha küçük veya büyük olanlar ise kesirli sayı
olarak mbe formatında Şekil 2.1’deki gibi bulunurlar. Burada m mantis b=taban
e=üsttür. Mantis 0 ≤ m<1 aralığındadır.

Mantis kısmında rasyonalize halinde saklanan sayılar özellikle iterasyonla yapılan
işlemlerde yuvarlatma hatalarına sebep olurlar. Bu hataları azaltmak için
programlamalarda mantis kısmının hassasiyetini iki kat artıran çift duyarlıklı
değişkenler kullanılır.

Ayrıca kesirli sayıların işlemlerinde atma (chopping) ve yuvarlatma (rounding)
İşaretli üs kısmı
Sayının işareti Mantis
Şekil 2.1. Kesirli sayıların bilgisayarda yerleşme şekli.

Nümerik Yöntemlerde Hata Analizi ve Bir Nümerik Çözüm...
kullanırlar. Örneğin 6.7894856 gibi bir sayın 7 hanesi kullanılacaksa yuvarlatmada
6.789486 olurken atmada 6.789485 olur. Duyarlılığı fazla olan günümüz
bilgisayarlarında atma yöntemi tercih edilmektedir; zira yuvarlatma için harcanan
zaman çok fazla olmaktadır.

2.3. Toplam Nümerik Hata

Bilgisayarda işlem yaparken kesme ve yuvarlatma aynı anda yapılıyorsa, örneğin
matematiksel bir açılımın ilk n parçası alınıyor ve işlemlerde yuvarlatma yapılıyorsa,
iki hatanın toplamı olan hata toplam nümerik hatadır. Bu hataya hem kesmenin hem
de yuvarlatmanın etkisi vardır. Genelde kesme hatalarını azaltmak için formül
2.2’deki h adım uzunluğunun azaltılması gerekir. Adım uzunluğu olan h değerinin
azalması da yuvarlatma hatalarının artmasına sebep olacaktır. Şekil 2.2’de
görüldüğü gibi toplam hatanın belirli bir noktadan sonra arttığı görülmektedir [1].

Gerek kesme, gerekse yuvarlatma hatalarında gerçek ve yaklaşık hata tanımları
yapılır.

Gerçek hata bilgisayarlarda programı yazılan yöntemlerin doğruluğunu ispatlamak
için, gerçek değeri bilinen durumlarda kullanılır. Nümerik hesaplamalarda gerçek
değer bilinmediği için, özellikle iterasyonla yapılan işlemlerde de yaklaşık hata
kullanılır. İngilizce true ve approximate kelimelerinin baş harfleri alınarak % ε ve
t
% ε tanımları aşağıdaki gibi yapılır.
a
Numerik Hatalar
ı
Toplam nümerik hata
t
a
s
l
og ha
Kesme hatası
Yuvarlatma hatası
log adım uzunluğu

Şekil 2.2. Toplam nümerik hata.


Nümerik Yöntemlerde Hata Analizi ve Bir Nümerik Çözüm...
S. Yüncü ve C. Aslan
ε = gerçek hata / gerçek değer
t
ε = (Şu andaki yak. değer-bir önceki yak.değer )/Şu andaki yak.değer)*100
a

Ayrıca iterasyon yapılan programlarda, n belirli hanenin doğru olmasını sağlayan
formül 2.3’teki ε kullanılır.
s
ε = (0.5*102-n)% (2.3)
s
İterasyon işlemleri |εa|<|εs| olana kadar devam eder. Bu kriter işlemlerde ancak
| ε |<| ε | olması durumunda kullanılır.
t
a

3. PAKET PROGRAMLAR

Bu çalışmada özellikleri aşağıda açıklanan nümerik yöntemlerle ilgili bir program
paketi hazırlanmıştır [9]. C++ Builder ile yazılmış olan bu programa Şekil 3.1’deki
bir anamenü yardımıyla ulaşılır. Bunlar:

• Bairstow kök bulma yöntemi
• Gauss yoketme yöntemi
• LU Crout çözümleme yöntemi
• Cubikspline enterpolasyon yöntemi
• Romberg integral alma yöntemi
• Runge Kutta adi diferansiyel çözümü yöntemi


Şekil 3.1. Nümerik analiz yöntemleri menüsü.

Nümerik Yöntemlerde Hata Analizi ve Bir Nümerik Çözüm...
Bu programlarda yuvarlatma hatalarını minimuma indirmek için değişkenlerin bir
kısmında çift duyarlıklı tanımlar yapılmıştır. Ayrıca programlar, normal (float), çift
duyarlıklı (double) ve uzun çift duyarlıklı (long double) ile ayrı, ayrı çalıştırılarak
sonuçlardaki farklar her yöntemin sonunda tablolarda gösterilmiştir.

3.1. Bairstow Yöntemi

Bairstow yöntemi bir kök bulma yöntemidir. Bu yöntemin diğer kök bulma
yöntemlerine göre üstünlüğü gerçel kökleri bulduğu gibi sanal kökleri de bulmasıdır.

fn(x)= a0 + a1x + a2x2 +......+anxn (ai gerçel sayı olmak üzere)

şeklinde verilen bir polinomun derecesi n tek ise, köklerden birisi mutlaka gerçeldir.
Kalan kökler gerçel veya sanal olabilir. Eğer kökün biri sanal ise, diğer kök de
mutlaka bu kökün eşleniği olan sanal bir sayıdır.

Bairstow yönteminde iterasyona başlamak için s ve r başlangıç noktaları alınır. Her
adımdaki r ve s değerlerinin hesaplanan yaklaşık hatası aşağıdaki formüllerle
bulunur.

|εa,r|=|∆r|/|r|100%
|εa,s|=|∆s|/|s|100%

Bu hatalar formül (2.3) ε kriter hatasından küçük olana kadar iterasyona devam
s
eder. Bu yöntemde r ve s değerlerinin başlangıç değerlerinin seçilmesi önemlidir.
Sonsuz döngüye girilmemesi için programa maksimum iterasyon sayısı konmuştur
[1,10].

Şekil 3.2. Bairstow yöntemi programı.
92
Gazi Üniv. Müh. Mim. Fak. Der. Cilt 17, No 2, 2002

Nümerik Yöntemlerde Hata Analizi ve Bir Nümerik Çözüm...
S. Yüncü ve C. Aslan
Anamenüden birinci buton çalıştırılarak Şekil 3.2’deki bairstow menüsüne ulaşılır.

Örnek 3.1.

5
x + 5 4
x − 5 3
x − 25 2
x + 4x + 20 =0 r = s = −1 ε = 1
s

Tablo 3.1. Örnek 3.1’in Bairstow yöntemi ile ve değişik değişken
türleri kullanılarak elde edilen çözümünün sonuçları.

C Float
C Long Double
X1 2.0000000000000000000
1.999999999999999300
X2 1.0000000000000000000
1.000000000000002910
X3 -1.000000000000000000
-1.000000132829983770
X4 -2.000000238418579100
-1.999999908406610850
X5 -4.999996185302734380
-4.999996284223565110

C++
Float
C++Long
Double
Xtrue
X1 2.0000000000000000000 1.999999999999999300 2
X2 1.0000000000000000000 1.000000000000002910 1
X3 -1.000000000000000000 -1.000000132829983770 -1
X4 -2.000000238418579100 -1.999999908406610850 -2
X5 -4.999996185302734380 -4.999996284223565110 -5


Tablo 3.2. Örnek 3.1 ‘in Bairstow yöntemi ile ve değişik değişken
türleri kullanılarak elde edilen çözümünün sonuçlarının hataları.

%Hata C Float
%Hata C Long Double
X1 0,00000000000000000
0,000000000000035
X2 0,00000000000000000
0,000000000000291
X3 0,00000000000000000
0,000013282998377
X4 0,00001192092895500
0,0000045796694575
X5 0,00007629394531240
0,0000743155286978


%Hata C++ Float
%Hata C++Long Double
X1 0,00000000000000000
0,000000000000035
X2 0,00000000000000000
0,000000000000291
X3 0,00000000000000000
0,000013282998377
X4 0,00001192092895500
0,0000045796694575
X5 0,00007629394531240
0,0000743155286978



Nümerik Yöntemlerde Hata Analizi ve Bir Nümerik Çözüm...
3.2. Gauss Yoketme Yöntemi

a11x1+a12x2+…..+a1nxn=c1
a21x1+a22x2+…..+a2nxn=c2
..............................................................

an1x1+an2x2+…..+annxn=cn

ile verilen denklem sistemi belirli bir algoritma ile yapılan cebrik işlemlerle
bilinmeyen x vektorleri çözülür. Denklem sistemi rastgele (hiçbir işlem yapılmadan)
çözülürlerse sıfıra bölme ve yuvarlatma hataları ortaya çıkar. Bu olumsuzlukları
önlemek için denklem sistemini çözmeden önce pivotlama daha çok yarı pivotlama
yapılır. Pivotlama sıfıra bölmeyi önlediği gibi yuvarlatma hatlarını da azaltır [1].

Ana menüden 2. buton çalıştırılarak Şekil 3.3’teki Gauss Yoketme menüsüne
ulaşılabilir.

Örnek 3.2.

A =
7.6300 0.3000 0.1500 0.5000 0.3400 0.8400
0.3800 6.4000 0.7000 0.9000 0.2900 0.5700
0.8300 0.1900 8.3300 0.8200 0.3400 0.3700
0.5000 0.6800 0.8600 10.2100 0.5300 0.7000
0.7100 0.3000 0.8500 0.8200 5.9500 0.5500
0.4300 0.5400 0.5900 0.6600 0.3100 9.2500


Şekil 3.3. Gauss yoketme yöntemi programı.
94
Gazi Üniv. Müh. Mim. Fak. Der. Cilt 17, No 2, 2002

Nümerik Yöntemlerde Hata Analizi ve Bir Nümerik Çözüm...
S. Yüncü ve C. Aslan
C = [ -9.4400, 25.2700, -48.0100, 19.7600, -23.6300, 62.5900]T
Gerçek Değerler = -2 4 –6 2 –4 7

Tablo 3.3. Örnek 3.2‘nin Gauss yoketme yöntemi ile ve değişik
değişken türleri kullanılarak elde edilen çözümünün sonuçları.

C Float
C Long Double
X1 -1.99999988079071045
-1.999999999999999950
X2 4.00000000000000000

3.999999999999999640
X3 -6.00000000000000000
-5.999999999999999710
X4 2.00000023841857910

1.999999999999999970
X5 -3.9999997615814209 -3.999999999999999830
X6 7.00000000000000000

7.000000000000000320


C++ Float
C++ Long Double
G.
X1 -1.99999988790710450 -1.999999999999999950 -2
X2
4.00000000000000000
3.999999999999999640 4
X3 -6.00000000000000000 -5.999999999999999710 -6
X4
2.00000023841857910
1.999999999999999970 2
X5 -3.99999976158142090 -3.999999999999999830 -4
X6
7.00000000000000000
7.000000000000000320 7


Tablo 3.4. Örnek 3.2‘nin Gauss yoketme yöntemi ile ve değişik değişken
türleri kullanılarak elde edilen çözümünün sonuçlarının hataları.

%Hata C Float
%Hata C Long Double
X1 0.00000596046447753906
0.00000000000000000000
X2 0.00000000000000000000
0.00000000000001110223
X3 0.00000000000000000000
0.00000000000000000000
X4 0.00001192092895507812
0.00000000000000000000
X5 0.00000596046447753906
0.00000000000000000000
X6 0.00000000000000000000
0.00000000000000000000


%Hata C++ Float
%Hata C++ LD
X1 0.00000596046447753906 0.0000000000000000000000X2 0.00000000000000000000 0.000000000000011102230
X3 0.00000000000000000000 0.0000000000000000000000
X4 0.00001192092895507812 0.000000000000000000000
X5 0.00000596046447753906 0.000000000000000000000
X6 0.00000000000000000000 0.000000000000000000000


Nümerik Yöntemlerde Hata Analizi ve Bir Nümerik Çözüm...
3.3. LU -Crout Çözümleme Yöntemi Programı

Bu yöntemde katsayılar matrisi olan kare matris biri alt üçgen, diğeri ise üst üçgen
olarak aşağıda görüldüğü gibi iki matrise ayrılır.
a
a
a 
l
u
u
1
,
1
,
1 2
,
1 3

0
0
11
 1
12
13 

 
 

a
a
a
=

l
l
u
2 1
,
2,2
2,3 

0
21
22
 
. 0
1
23 
a
a
a 
l
l
l  0
0
1 
 3 1,
3,2
3,3 
 31
32
33  


Bu eşitlikten yararlanarak bilinmeyen x değerleri çözülür [11].

Ana menüden 3. buton çalıştırılarak Şekil 3.4’teki LU Crout menüsüne ulaşılabilir.


Şekil 3.4. LU -Crout çözümleme yöntemi programı.

Örnek 3.3.
A=
4.3800 0.5900 0.4400 0.1200 0.8000 0.8400 0.3900 0.1600
0.0900 81.9300 0.3500 0.4500 0.9100 0.1700 0.5900 0.8700
0.0400 0.3700 43.1700 0.7200 0.2300 0.1700 0.1200 0.2400
0.6100 0.6300 0.6800 89.9300 0.2400 0.9900 0.0400 0.6500
0.6100 0.7200 0.7000 0.2700 73.5400 0.4400 0.4600 0.9700
0.0200 0.6900 0.7300 0.2500 0.0800 69.0700 0.8700 0.6600
0.0200 0.0800 0.4800 0.8700 0.6400 0.3100 35.5500 0.8700
0.1900 0.4500 0.5500 0.2300 0.1900 0.3700 0.2600 16.6100

C = [-23.49 87.25 170.88 -530.36 227.13 141.59 -136.83 117.43]T
96
Gazi Üniv. Müh. Mim. Fak. Der. Cilt 17, No 2, 2002

Nümerik Yöntemlerde Hata Analizi ve Bir Nümerik Çözüm...
S. Yüncü ve C. Aslan
Tablo 3.5. Örnek 3.3‘ün LU-Crout çözümleme yöntemi ile ve değişik değişken
türleri kullanılarak elde edilen çözümünün sonuçları.
LU
C Float
C Long Double
X1 -2.000000000000000000 -1.9999999999999997622340
X2 0.999999940395355225 0.9999999999999999161912
X3 4.000000476837158200 3.9999999999999997272150
X4 -6.000000000000000000 -5.9999999999999997055310
X5 3.000000000000000000 2.9999999999999996849310
X6 2.000000238418579100 2.0000000000000002504510
X7 -4.000000476837158200 -4.0000000000000006865170
X8 6.999999523162841800 7.0000000000000006583280


C++ Float
C++ Long Double
G
X1 -2.000000000000000000
-1.999999999999999760
-2
X2 -0.999999940395355225
0.999999999999999916
1
X3 4.000000476837158200
3.999999999999999730
4
X4 -6.000000000000000000
-5.999999999999999710
-6
X5 3.000000000000000000
2.999999999999999680
3
X6 2.000000238418579100
2.000000000000000250
2
X7 -4.000000476837158200
-4.000000000000000690
-4
X8 6.999999523162841800
7.000000000000000660
7

Tablo 3.6. Örnek 3.3‘ün LU-Crout çözümleme yöntemi ile ve değişik
değişken türleri kullanılarak elde edilen çözümünün sonuçların hataları.

% Hata C Float
% Hata C Long Double
X1 0.000000000000000000000
0.000000000000011102230
X2 0.000005960464477539062
0.000000000000011102230
X3 0.000011920928955078125
0.000000000000011102230
X4 0.000000000000000000000
0.000000000000000000000
X5 0.000000000000000000000
0.000000000000014802973
X6 0.000011920928955078125
0.000000000000022204460
X7 0.000011920928955078125
0.000000000000022204460
X8 0.000006811959402901785
0.000000000000012688263


% Hata C++ Float
% Hata C++ Long Double
X1 0.000000000000000000000 0.0000000000000111022302
X2 0.000005960464477539062 0.0000000000000111022302
X3 0.000011920928955078125 0.0000000000000111022302
X4 0.000000000000000000000 0.0000000000000000000000
X5 0.000000000000000000000 0.0000000000000148029737
X6 0.000011920928955078125 0.0000000000000222044605
X7 0.000011920928955078125 0.0000000000000222044605
X8 0.000006811959402901785 0.0000000000000126882631

Nümerik Yöntemlerde Hata Analizi ve Bir Nümerik Çözüm...
3.4. Cubicspline Enterpolasyon Yöntemi

Deney sonucu veya benzer çalışmalar için bilinen değerleri kullanarak bilinmeyen
noktalardaki değerleri yaklaşık olarak belirleme işlemine enterpolasyon
denilmektedir. Bilinmeyen değerler bilinen değerlerin arasında bir noktada ise
bilinen noktalar kullanılarak bulunabilir. Ancak istenen nokta bilinen değerlerin
dışında bir yerde ise öncelikle bu noktaları sağlayan bir eşitlik bulunur. Daha sonra
bu eşitlikten bilinmeyen nokta verilerek istenen karşılığı elde edilir [10].

Ana menüden 4. buton çalıştırılarak Şekil 3.5’teki Cubicspline menüsüne
ulaşılabilir.

Şekil 3.5. Cubicspline enterpolasyon yöntemi programı.
Örnek 3.4.

x=(0.08823, 0.14706, 0.20588, 0.26471, 0.32353, 0.38235, 0.44118, 0.5, 0.55882,
0.61765, 0.67647, 0.73529, 0.79412, 0.85294, 0.91176)

f(x)=(0.185, 0.21, 0.23, 0.255, 0.28, 0.31, 0.34, 0.38, 0.42,, 0.45, 0.50, 0.54, 0.59,
0.65, 0.69)

Tablo 3.7. Örnek 3.4‘ün cubicspline yöntemi ile ve değişik değişken türleri
kullanılarak elde edilen çözümünün sonuçları.
C float
C long double
C++ Builder Float
C++ Builder Long Dou
0.295075476169586182 0.280420035069537383 0.295075505971908569 0.280420035069537383

98
Gazi Üniv. Müh. Mim. Fak. Der. Cilt 17, No 2, 2002

Nümerik Yöntemlerde Hata Analizi ve Bir Nümerik Çözüm...
S. Yüncü ve C. Aslan
3.5. Romberg İntegrali

Fonksiyonların integrali nümerik yöntemlerde yamuk, simpson, Gauss, Romberg
integrasyon yöntemleri ile çözülür. Bunlardan Romberg integrasyon yöntemi
aşağıdaki formül yardımıyla iterasyonla çözülen yöntemdir [1].

4k 1
− I
− I
j+ ,
1 k 1
−
j,k 1
I
≅
−
j,k
4k 1
− −1

Burada Ij+1,k-1 ve Ij,k-1 sırasıyla en yüksek ve en düşük hassasiyetteki integrallerdir.
Ana menüden 5. buton çalıştırılarak Şekil 3.6’daki Romberg İntegrali menüsüne
ulaşılabilir.


Şekil 3.6. Romberg integrali yöntemi programı.

Örnek 3.5.

f(x)=0.2+25x-200x2+675x3-900x4+400x5 fonksiyonunun [0,0.8] aralığındaki
integralini romberg yöntemi ile bulunuz.

a değeri= 0 b değeri=0.8 Max iterasyon değeri=4 es değeri=1


Nümerik Yöntemlerde Hata Analizi ve Bir Nümerik Çözüm...
Tablo 3.8. Örnek 3.5‘in Romberg yöntemi ile bulunan integral değerleri.
Romberg integrali (C++ Float)
Romberg integrali (C++ LD)
1.367466688156127930
1.367466666666666730
1.623466610908508300 1.623466666666666250
1.640533328056335450 1.640533333333332880
1.639466524124145510 1.639466666666666420
1.640533208847045900 1.640533333333333100
1.640533208847045900 1.640533333333333100
1.640466451644897460 1.640466666666666730
1.640533089637756350 1.640533333333333420
1.640533089637756350 1.640533333333333420
1.640533089637756350 1.640533333333333420
1.640533089637756350 1.640533333333333420

Gerçek Değeri=1.640533

Tablo 3.9. Örnek 3.5 ‘nin romberg yöntemi ile bulunan integral değerlerinin
hataları.
%Hata (C++ Float)
%Hata (C++ LD)
0.000005463941069762083 0.000020318599712410539

3.6. Runge-Kutta Yöntemi

Runge Kutta Formülleri yardımıyla elde edilirler [12]. Runge Kutta yöntemlerinde n
arttıkça hassasiyet artar. Birçok çözümde 4. mertebeden Runge Kutta yöntemi
yeterli olurken, daha hassas çözüm isteyen durumlarda yüksek dereceden Runge
Kutta yöntemleri kullanılır. Burada 6. mertebeden Runge Kutta yöntemini kullanan
program yazılmıştır.

Ana menüden 6. buton çalıştırılarak Şekil 3.7’deki Runge-Kutta menüsüne
ulaşılabilir.

Örnek 3.6.

y’1=4*exp(0.8*x)-0.5*y1 Y(0)=0.5 h=0.5 Xout= 0.5

Tablo 3.10. Örnek 3.6‘nın Runge-Kutta yöntemi ile bulunan sonuçları.
X
Y C Float
Y C Long Double
0 2.000000000000000000
2.000000000000000000
0.5 3.75152206420898438 3.751522082653013334501

100
Gazi Üniv. Müh. Mim. Fak. Der. Cilt 17, No 2, 2002

Nümerik Yöntemlerde Hata Analizi ve Bir Nümerik Çözüm...
S. Yüncü ve C. Aslan

Şekil 3.7. Yüksek dereceden Runge-Kutta yöntemi programı.

Tablo 3.11. Örnek 3.6‘nın Runge-Kutta yöntemi ile bulunan sonuçların hataları.
X
Y (Runge-Kutta Yöntemi)
Ytrue
Hatası (%)
0 2.000000000000000000

0.5 3.751522082653013270
3.751521
0,000028859041793

4. SONUÇ VE ÖNERİLER

Son yıllarda bilgisayarların hız ve kapasitelerinin artması; pek çok mühendislik
problemlerinin de bilgisayarlarda çözülmesini, nümerik analiz yöntemlerinin
artmasını, yeni algoritmaların gelişmesini sağlamıştır. Bu ise gerek algoritmik
yöntemlerden gerekse bilgisayarların yapılarından kaynaklanan hataları da

beraberinde getirmiştir.

Bu çalışmada nümerik yöntemlerdeki hataların analizi yapılmıştır. Nümerik
metotların konularından birer yöntem seçilerek bir nümerik yöntem paketi
hazırlanmıştır. Bu yöntemlerde değişik hassasiyette değişkenler kullanılarak
örnekler çözülmüş, sonuçlar ve hatalar tablolar ve grafikler yardımıyla
gösterilmiştir. Her yöntemin tanımı yapılarak, menülerle çalışması açıklanmıştır.
Bazı yöntemlerde, sonuca ulaşmak için dikkat edilmesi gereken hususlar üzerinde
durulmuştur.

Tablo 3.4 ve Tablo 3.6’daki sonuçlarda görüldüğü gibi değişkenleri çift duyarlıklı ve
uzun çift duyarlıklı alınan durumlarda hataların daha az olduğu görülmektedir. Tablo
3.9’da ise normal duyarlıklı değerlerde hatalar daha az gibi gözükse de bunun nedeni
hata hesaplarında gerçek değerlerin alınması ve işlemlerde yuvarlatma yapılmasıdır.

Nümerik Yöntemlerde Hata Analizi ve Bir Nümerik Çözüm...
Aslında değişkenlerin normal, çift duyarlıklı ve uzun çift duyarlıklı alınarak yapılan
işlemlerdeki büyük farklar, iterasyonlarla yapılan işlemler ve büyük denklem
sistemlerinin çözümlerinde daha belirgin olur.

Değişik yöntemlerle de programlar yazılarak nümerik paket geliştirilebilir. Bu
pakette Romberg ve Runge Kutta yöntemlerinde fonksiyonlar sabit olarak
verilmiştir. Yani her yeni fonksiyon için, fonksiyon girildikten sonra programın
tekrar derlenmesi gerekir. İdeal olanı ise fonksiyonların ekrandan girilebilecek hale
getirilmeleridir. Ayrıca bu paket, daha değişik örneklerle denenip değişik sonuçlar
alınabilir.

KAYNAKLAR

1. Chapra, S. C. ve Canale, R.P., Numerical Methods for Engineers McGraw-
Hill, 1998.
2. Kulkarni, R. P. ve Limaye, V., Solution of a Schrödinger Equation by Iterative
Rrefinement, J Austral Math Soc Ser B, 32, s. 115-132, 1990.
3. Banks, L. ve Chu, E., Parallel Gauss-Seidel Relaxation on Distributed-Memory
Multiprocessor, J.Comput.Inf., 1, No 2, s. 434-450, 1995.
4. Chang, X.-W., On the Sensitivity of the LU Factorization, BIT, 3, s. 486-501,
1998.
5. Langlois, P. ve Nativel, F., Reduction and Bounding of the Rounding Error in
Floating Point Arithmetic, C.R.Acad.Sci. Paris, 1, s. 781-786, 1998.
6. Calvo, M., Gonzales, S., Montijano, J.I., On the Iterative Solution of the
Algebraic Equations in Fully Implicit Runge-Kutta Methods, Numerical
Algorithms, 23 ,s. 97-113, 2000.
7. Gurwitz, C., A Test for Cancellation Errors in Quasi-Newton Methods, ACM,
s.134-140, 2000.
8. Robertazzi, T.G. ve Schwartz, S.C., Best "Ordering" for Floating-Point
Addition, ACM, s.101-110, 2000.
9. Aslan, C., Nümerik Yöntemlerde Hata Analizi ve C++ Builder ile Yazılan
Bir Nümerik Çözüm Paketinin Hazırlanması, Master Tezi, Gazi Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü, 2002.
10. James, M.L., Smith, G.M., Wolford, J.C. Applied Numerical Methods for
Digital Computation, Harper Collins, 1993.
11. Hoffmann, J.D., Numerical Methods for Engineers and Scientists, McGraw-
Hill, 1993.
12. Fausett, L.V., Applied numerical analysis using matlab,Prentice Hall, 1999.
13. Ping-Tang, T.P, Table–Driven Implementation of the Logarithm Function in
IEEE Floating Point Arithmetic, ACM Transaction on Mathematical

zor ders...